本科生假期打零工,竟推翻了这个著名数学猜想
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渴望假期是人类的共性,和教育背景、所学专业等无关。科罗拉多大学博尔德分校数学系研一学生Summer Haag,还有与她同系的Clyde Kertzer,早在今年5月就开始憧憬着这个暑假。Kertzer还在上本科,他计划在暑假里好好踢上几场足球,然后精心准备自己的研究生入读申请。Haag则期盼着在假期里放松一下身心,重新拾起自己最热爱的登山运动。 但是,当他们听说自己的导师、数论专家Katherine Stange发布了一个半日制暑期研究计划之后,经过一番内心纠结,最终数学研究的热情还是压过了对于休假的渴望,他们两人选择申请加入其中。 Stange对“看似简单但结构丰富的问题”很感兴趣。她的团队这一次所瞄准的数学对象,是数学史上最古老的几何结构之一。Stange常见的研究风格则是,通过计算机生成大型数据集来解决数论里难以捉摸的开放问题。作为项目组里最年轻的两位成员,Haag和Kertzer主要负责相对简单的“体力劳动”——扩展组内数学家James Rickards的算法和初始代码,编写程序,生成大量模拟数据,最终以可视化的形式展示当数学结构进一步趋于复杂时的数值发展趋势。 出乎所有人的意料,Haag和Kertzer加入项目组还未满一个月,他们的劳动成果就打了整个数论领域一个措手不及。大量数据暗示,Stange团队原本打算证明的那个猜想,实际上是错的。在此之前,该领域的学者几乎都相信它是正确的,唯一的问题在于如何证明它。 这个猜想发轫于最古老的尺规作图问题,在文艺复兴时期经由笛卡尔的美妙定理初见端倪,中间又有诺贝尔化学奖得主提供的洞察力,现在则跨进了最前沿的数论领域……它的来龙去脉,就如同一条经纬,贯穿了一部微缩的数学史。而始发站,正是两千多年前的古希腊。
古希腊:阿波罗尼奥斯的相切圆
阿波罗尼奥斯被认为是古代伟大的数学家之一。他的著作(这里看到的是 9 世纪的阿拉伯语译本)继续发展了约一个世纪前欧几里得的几何思想。| 图源:Bodleian Libraries/Oxford University
阿波罗尼奥斯在《论相切》里提出了一个几何学难题:在平面上给出位置关系没有特别限制的三个圆,问如何用尺规作出第四个圆与之前的三个圆相切?此即著名的阿波罗尼奥斯问题(Apollonius’ problem)。 阿波罗尼奥斯找到了作图方法,指出对于最一般的情况,一共有8个可能的解。上图显示了8个解中的1个:对一般位置的三个黑色圆,紫色圆包含其中一个并与它们全部相切。紫色圆可以包含一个圆,也可以包含两个圆,以及同时包含所有圆或不包含任何圆,但都与全体相切。| 图源:wiki Apollonian gasket
显而易见,对于位置相对特殊的三圆配置,可与其全部相切的第四个圆,很可能不足8种。例如,若限定三个圆两两相切,则第四个圆仅有2种可能性。由于这些大大小小的圆盘就像是一个个密封垫,上图里的几何结构被命名为阿波罗尼奥斯垫圆(Apollonian gasket)。这便是本文的“主角”。 在解决问题的过程中,阿波罗尼奥斯似乎使用了一个看似显而易见的结论:在切点不重合的情况下,平面上至多只能作出四个圆,使其任意两个圆均相切;或者说,无论如何调节半径大小和位置,都不存在五个圆,其中每个圆与另外四个圆相切。 但按照现代数学的公理化体系,“不存在五个圆,其中每个圆与另外四个圆相切”这一命题是可以证明,且应该予以证明的。此处便把它留作一个思考题。
文艺复兴:笛卡尔的美妙定理
图源:https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem
20世纪:诺贝尔化学奖得主的数学赞美诗
……
不过无论如何,索迪不仅展示了他对数学之美和诗歌艺术的热爱,也为后来的研究提供了一个重要的工具。 如果说,笛卡尔的定理,从古老的欧式几何学问题里,信手拈出了其最核心的代数关系;索迪的“捡漏”发现则指出,这种关系蕴藏了丰富的算术性质。 算术,即是数论。
启蒙与理性时代:高斯的钟表计数器与二次互反律
数论是基础数学里最古老但又很年轻的一个分支。 说它古老,早在欧几里得的《几何原本》里便收录并用反证法证明了最古老的数论命题:存在无限多个素数。 另外, 古希腊的丢番图(Diophantus)留下了一篇具有数学谜题性质的《丢番图墓志铭》,后者因此被誉为最著名的不定方程(指未知数只能使用整数的整系数多项式方程)。也正是因为这一渊源,不定方程也被称之为丢番图方程。 说数论年轻,则是因为在随后两千年的数学史里,虽然出现了费马、欧拉、勒让德(Adrien-Marie Legendre)等一大批推动了数论发展的巨人,但真正使这一数学分支严谨化和系统化的人,则是被誉为数学王子的卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)。 在高斯的《算术研究》第一章,他引入同余的概念。他是第一位把算术里最基础的语言,同时也是蕴藏着最深刻思想的工具——模运算——明确地“捻”出来的数学家。 为了方便后文的理解,这里简要介绍一下模运算。 在整数里,最基础的关系是整除性。对于整数m和n。如果存在另一个整数k,使m=k×n,则我们说n整除m。如2整除4,7整除56等等。 对于三个整数p、q、m,如果m整除p-q,则说p和q关于m同余。或者,用高斯的表示法,就是
因为28-1=27=3×9,所以
最简单的,比如说,是否存在整数x,满足x2
现代:本科生的工作推翻了前沿数学里的著名猜想
x
这个想法被称为局部-全局猜想(local-global conjecture)。其实在数学里有很多以“局部-全局”命名的猜想,这里特指阿波罗尼奥斯垫圆上的局部—全局猜想。 回到本文的开头,科罗拉多大学博尔德分校数学系研一学生Summer Haag与大四的Clyde Kertzer舍弃假期,加入了自家导师的暑假研究项目。他们的导师Katherine Stange希望能够证明阿波罗尼奥斯垫圆上的局部—全局猜想。 她指派Haag和Kertzer编写程序,生成大量阿波罗尼奥斯垫圆,以找出数据中隐藏的规律。Haag用Python脚本制作了一些同时绘制大量模拟图表的程序。当Stange临时离开学校,前往欧洲参加一场学术会议的时候,Haag做了一个大动作。 Haag一直在绘制1000个整数是如何相互作用——数据比它听起来的要庞大,因为它涉及到100万对可能的数字。然后她把参数调到了10000乘10000。在生成的图表中,行和列里的黑点拒绝消失。它看起来一点也不像局部-全局猜想的预言结果。 等Stange从欧洲返回,在每周的碰头会上,Haag和Kertzer向项目组里的成员展示了带有反常数据的图表。他们两人承认,不知道是哪里出了bug。 他们的导师凝视着图表,突然说到:“如果是局部-全局猜想压根就不成立呢?” “我当时很兴奋。很少有事情真正能让我们感到惊讶。”Stange后来说,“但这就是数据的魔力。” 一旦找准了方向,Stange的团队在几周内就得到了一篇严格证明,否定了他们原本打算证明的猜想。
由于一系列刚刚开始被理解的“巧合”,数字12和24在数学中发挥着核心作用。这一事实的第一个暗示是欧拉的奇异“证明”:
1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12。 上面的欧拉等式现在可以用黎曼zeta函数来赋予严格的数学意义,并且在物理学中它解释了为什么玻色弦理论在26=24+2维中效果最好。 同时,11+22+32+…+242=702,这一事实在弦理论、Leech晶格(是24维空间里最密集的球体堆积方式,又是24!)和Monster群之间建立了一种奇怪的联系。一个更为人所知的、密切相关的事实是“模形式”理论中的12-周期现象。数学家正在尽最大努力揭开深奥的谜团。 阿波罗尼奥斯垫圆本身,实际上对应于作用于某双曲空间上的某个群(“阿波罗群”)的轨道。事实上,阿波罗群是洛伦兹群的一个离散子群,在狭义相对论中非常著名!研究旋量的物理学家对它并不陌生!不过,最困难的还是本文所记述的,关于数论方面的问题。它是非常罕见的,把数学源头——古希腊的几何,与现代最前沿的数学领域之一——自守形式,联系在一起的数学对象。
参考资料
[1].Two Students Unravel a Widely Believed Math Conjecture | Quanta Magazine
[2].THELOCAL-GLOBALCONJECTUREFORAPOLLONIANCIRCLEPACKINGSIS FALSE,2307.02749.pdf (arxiv.org)
[3].《通俗数学名著译丛-奇妙而有趣的几何》,戴维·韦尔斯著,于应龙译,上海教育出版社
[4].ONTHELOCAL-GLOBALCONJECTUREFOR INTEGRALAPOLLONIANGASKET,1205.4416.pdf (arxiv.org)
[5].阿波罗尼奥斯(古希腊数学家)_百度百科 (baidu.com)
[6].Descartes' theorem - Wikipedia
[7].《一线串通的初等数学》,张景中著,科学出版社
[8].Apollony fractal (paulbourke.net)
[9].Soddy's hexlet - Wikipedia
[10].Hexlet -- from Wolfram MathWorld
[11].Apollonian circle packings: number theory - ScienceDirect
[12].丢番图 - 维基百科,自由的百科全书 (wikipedia.org)
[13].模算数 - 维基百科,自由的百科全书 (wikipedia.org)
[14].Apollonian gasket - Wikipedia
[15].John Carlos Baez: "Here's an 'Apollonian gasket'.…" - Mathstodon
[16].faculty.math.illinois.edu
[17].My Favorite Numbers (ucr.edu)
本文受科普中国·星空计划项目扶持
出品:中国科协科普部
监制:中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
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